ちょっと今回は番外編です。「GT-730F/Lのログデータで何かやってみる其の5」で、経度、緯度で示される点、2点から、北を進行方向として、どの程度のずれがあるか、平面三角法により角度を求めました。

しかしながら、地球は実際は球体です。ですので、今回は球面三角法を用いて、角度を求めてみます。といっても、つっこんだことはしませんが。

球面三角法は、天文学等で利用されてきたようで、技術の発達した現在は、行列を利用した座標変換が主流らしいです。そもそもどうやって、利用されてきたのかがわからないのでぴんとこないですが、座標変換というところから考えて、"測地系"に関わるところなのでしょうか。

ひとまず、ここはおいといて。

まず、平面三角法との違いは、ウィキの内容でいくと、

「平面上の三角法との最大の違いは、辺の大きさが長さではなく球の中心角によって表されることである。」

となっております。ちょっと分かりにくいので、以下の図を見てください。


図1は地球と思ってください。地球の中心をOとし、A、B、Cは地球表面のとあるポイントとします。そして、この４点を線で繋いだ時にできる角度、A、B、C、a、b、cの6角度を図1は表しています。実は、球面三角法は、この6角度により、表現できる公式なのです。

ウィキの図だと、素人がみると、a、b、cが球の中心角でなく、単純に辺の長さに見えてしまうので、ウィキを参照するときは注意してください。どうでもいいことですが、エクセルでの作図は限界がきたので、とうとうCAD(フリーのものですが)を使ってしまいました。慣れていないのでうまく作図できていないですが、CADは便利だとあらためて実感しました。

さて、球面三角法も平面三角法に似せて、余弦定理や、正弦定理が存在しますが、ここでは説明は省きます。

ここで、GPSロガーから取得した、経度、緯度であらわされる点、2点を図１のように仮にします。そして、Cの角度を90度になるように設定します(Cの経度をAの経度,Cの緯度をBの緯度とすれば必然的に90度になりますが、公式上はCを90度とするならCは無視できます)。ここで求めたい角度はBとなり。以下の公式を利用すれば、角度Bを求めることができます。


①の公式より、逆三角関数から、②式が得られ、角度Bを求めることができます。

Cの角度を90度とすると、公式は結構単純になります。
公式の証明はしませんが、この場合は、なんとなく直感でわかるんでないでしょうか。

ここで、bは図1より、b = 緯度2 - 緯度1、a = 経度2 - 経度1となります。

球面三角法の場合ですと、こんな感じで、角度の計算ができます。

尚、お気づきの方もいるかもしれませんが、平面の場合は三角形の内角の和は180度でしたが、球面の場合は180度を越えます。

ただし、これは、図1のように、大きい三点をとったとき、顕著に180度を越えたことがわかりますが、地球の大きさに対して、A、B間が数百メートル程度では、平面の時とほとんど変わらないです。また、実際には、地球は楕円かつ、山あり谷ありで、まだまだ考慮すべきところは多いです。

また、とりあえず、角度は求めたものの、この角度を利用するには、地図の図法に応じた変換も必要で、素人はおとなしく平面三角法で遊んでいたほうがいいかもしれません。

では、今日はここまで。

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